期权估值（四）：估值差异从何而来——从波动率曲面到局部波动率模型

TL;DR

第 1 篇立起 BS 的「红与黑」，第 2 篇在 BS 框架内用静态复制与 Vanna-Volga 做修正，第 3 篇（番外）把一直被当作「输入」的波动率曲面本身摊开来讲。到这里，前三篇有一个共同的天花板：都没有离开 BS 的常数波动率假设，曲面始终是外挂进来的一张报价表。本篇迈出根本性的第一步：放弃常数波动率，用 Dupire 公式把整张欧式曲面反推成一个自洽的定价模型：局部波动率（Local Volatility, LV）。 ~~在往期期权估值专题中，我们梳理了 Black-Scholes 模型原理与局限性，并通过欧式期权静态复制、Vanna-Volga 修正方法，优化 BS 模型定价精度。~~在往期期权估值专题中，我们梳理了 Black-Scholes 模型原理与局限性，并通过欧式期权静态复制、Vanna-Volga 修正方法，优化 BS 模型定价精度。

针对数字期权、障碍期权、远期波动率敏感产品、强路径依赖产品等复杂期权结构，ComStar 还同步搭载了局部波动率模型 LV、随机波动率模型 SV、随机-局部波动率模型 SLV，与 BS 模型一起构建全场景期权估值底层架构。

后续我们将逐一详解这三类波动率模型，欢迎业内同仁交流探讨、经验共享。

期权产品用不同模型估值会产生差异。这些差异在欧式香草期权上通常并不明显，但在数字期权（Chen 注：Digital Option，又称二元期权。到期时标的满足条件（如高于行权价）则支付固定金额，否则支付 0，收益是跳变的阶跃函数。见[第 2 篇](/notes/option-valuation-02)静态复制一节。）、区间累计（Chen 注：Range Accrual。一类路径依赖结构：在一系列观察日上，标的每落在约定区间内一天就累计一份票息，落在区间外则不计。价格由各观察日「落在区间内」的概率加权决定，本篇第 2 节详解。）等结构上会迅速放大。前者对行权价附近的微笑斜率与曲率更为敏感，后者则对应一组跨期限、双边界的区间概率。

首先要澄清一点：差异本身并不意味着模型有误。更准确地说，不同模型对应的是不同的市场假设，也适用于不同的定价、对冲和风险分析场景。可以把它们理解为对不同问题的分层回答：

模型	主要假设	适用品种	其他用途
BS	使用单一代表性波动率	欧式期权	快速估算、基准对照
LV	由当前曲面反推的局部波动率	数字/欧式障碍/区间累计等弱路径依赖结构	曲面一致定价、对照基准
SV	波动率自身随机变化	同 SLV，优先参考 SLV 估值结果	远期 smile 动态、波动率风险、风险归因
SLV	当前曲面拟合 + 随机波动率动态	美式障碍/触碰/强路径依赖结构	动态对冲与风险分解（skew/vol-of-vol/correlation）

在这些模型中，LV 可以看作从欧式波动率曲面出发、延伸到结构产品定价的第一步。第 3 篇解决的是曲面的构建问题；本篇要回答的是：在给定曲面的前提下，如何得到一个一致的定价模型。LV 并非最终答案，但它提供了一个清晰且可操作的基准定价框架。

1. 从波动率曲面到模型：还缺什么？

「曲面 + 插值」解决的是欧式期权的静态报价问题，而不是一个完整模型。它可以回答「某个行权价、期限的隐含波动率是多少」，却不能回答「未来的价格会如何演化」。一旦定价对象变成路径依赖期权，或需要在同一框架下对不同结构做一致估值，单靠曲面就不够了。

因此，一个可用的模型至少要同时满足两点：

与当前欧式曲面一致；
定义完整的标的动态过程。

局部波动率模型（Local Volatility, LV）正是满足这一要求的最直接框架。

1.1 核心假设：波动率不再是常数

在 BS 模型中，波动率是一个常数；而在 LV 模型中，它被扩展为价格与时间的函数。对外汇期权，标的动态常写作：

\begin{equation} dS_t = (r_d - r_f)\, S_t\, dt + \sigma_{\text{loc}}(S_t, t)\, S_t\, dW_t \tag{1.1} \end{equation}

其中 $r_d - r_f$ 是本外币利差（Chen 注：$r_d$ 为本币（计价货币）利率，$r_f$ 为外币（标的货币）利率。外汇的无风险漂移正是两者之差 $r_d-r_f$，对应抛补利率平价下的远期升贴水，这与[第 3 篇](/notes/option-valuation-03)远期汇率的定义一脉相承。）， $W_t$ 是布朗运动（Chen 注：Wiener Process，维纳过程 / 标准布朗运动，连续时间随机游走，是 BS 及其后续模型刻画价格随机性的基本噪声源。）。与 BS 唯一的、也是关键的区别，就是把常数换成了：波动率不再是全局常数，而是随标的价格与时间变化。

于是 LV 模型的核心任务可以一句话概括：把报价层的隐含波动率曲面 $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$ （市场报价语言），转化为模型层的局部波动率函数 $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ （模型参数）。

1.2 用 Dupire 公式把曲面转化为模型

LV 模型的理论基础是 Dupire 公式（Chen 注：Bruno Dupire 于 1994 年提出。它的深刻之处在于：只要给定一张完整、无套利的欧式期权价格曲面，就存在唯一一个局部波动率函数使模型与该曲面完全一致。LV 不是又一组待拟合的自由参数，而是被曲面唯一确定的。）。它表明：局部波动率并不是额外假设出来的参数，而是由整个欧式期权价格曲面反推得到的。

以外汇期权为例，记 $C(K, T)$ 为行权价 $K$ 、到期日 $T$ 的欧式看涨期权价格，则局部波动率满足（利率为零的教学形式）：

\begin{equation} \sigma_{\text{loc}}^2(K, T) = \frac{\dfrac{\partial C}{\partial T}}{\dfrac{1}{2} K^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial K^2}} \tag{1.2} \end{equation}

这是略去利率后的主干形式（Chen 注：完整的外汇 Dupire 公式在分子里还有本外币利差带来的漂移项 $r_f C + (r_d - r_f) K \frac{\partial C}{\partial K}$。这里略去利率、只保留主导结构，是为了看清公式的本质：分子是对期限的一阶导，分母是对行权价的二阶导（正比于欧式价格的凸性，也即到期分布密度）。）。公式有两个直接含义：

LV 模型依赖的是整张欧式曲面，而不是个别波动率点；
由于涉及对期限和行权价的导数（尤其分母的二阶导），曲面的斜率、曲率乃至噪音都会被放大并传导到局部波动率。

因此，实际工程中的难点往往不在 Dupire 公式本身，而在输入曲面的质量。

ComStar 系统中会先统一 ATM、Delta、Premium-Adjusted 等报价口径（即第 3 篇讲的三大惯例），再通过曲面清洗、平滑与插值对离散数据做处理，并在期限与行权价两个方向检查静态无套利约束。只有得到一张「干净曲面」，局部波动率反推与结构定价才具备稳定基础。

上图为相同尺度下的 EUR/USD 隐含波动率（IV）与局部波动率（LV）曲面对比。左右两图使用相同的 Delta 网格、期限轴与波动率刻度，因此高度、斜率、形状可直接比较。

由于 Dupire 公式依赖曲面对期限和行权价的导数，局部波动率曲面通常更陡，也更容易出现局部起伏。

2. 两个典型期权结构

要看清「估值差异从何而来」，最好的样本是两类对曲面高度敏感的结构：欧式数字期权与区间累计。

2.1 欧式数字期权

欧式数字期权的到期收益非常简单，看涨方向可写作：

\begin{equation} \text{Payoff} = \mathbf{1}_{\{S_T > K\}} \tag{2.1} \end{equation}

即标的到期高于行权价则支付 1，否则支付 0（Chen 注：$\mathbf{1}_{\{\cdot\}}$ 是示性函数：条件成立取 1、否则取 0。所以数字期权的价格（贴现前）就等于「到期时标的落在行权价之上」的概率 $\mathbb{P}(S_T>K)$。）。但它并不是由某一个「代表性波动率」决定的。数字期权价格对应于欧式价格对行权价的一阶导数（ $-\partial C/\partial K$ ），因此主要由行权价附近那一段曲线的形状决定：RR 改变偏斜、BF 改变曲率，两者都会传导到期权价格。

这也正是第 2 篇里要用较窄的牛市价差组合（Bull Call Spread）（Chen 注：Bull Call Spread。买入行权价 $K$ 的 call、卖出行权价 $K+\Delta K$ 的 call，当 $\Delta K \to 0$ 时其收益结构逼近数字期权。用它近似数字期权，好处是把数字价格锚定在两个可交易的欧式价格上，自动吸收 RR、BF 塑造的微笑形状。）去近似欧式数字期权的原因：数字价格应当被锚定在可交易的欧式价格上，并自然吸收微笑形状。

若校准充分，LV 模型给出的数字价格应接近欧式静态复制结果，这也可以作为模型与曲面一致性的直接检验。在ComStar的实践中，我们正是通过比较欧式静态复制与 LV 定价结果对模型做交叉验证，从而确保数字报价、欧式头寸与对冲口径之间的一致性。

图2：EUR/USD 3M 25D Call 数字期权：BS(25D) vs 静态复制 vs LV
注：图片来源系统

图2每个场景均使用对应的 3M 25D Call 行权价。深灰虚线用该场景的 25D Call 波动率代入 BS 数字期权公式；浅灰虚线用窄牛市价差近似欧式静态复制价格；蓝线则是使用完整波动率曲面的 LV 价格。在该案例中，ComStar系统的 LV 模型可以复现静态复制法的估值结果。

图2中，欧式静态复制与 LV 基本重合，而与单一 BS 波动率的定价存在明显差异。原因在于：LV 与静态复制都完整反映了 RR 和 BF 所刻画的曲面形状；而 BS 仅使用一个代表性波动率，无法捕捉曲面变化。

因此，如果仍以单一 BS 波动率给数字期权报价，就容易与欧式复制/LV 价格产生系统性偏差。本质上这是定价口径的不一致：数字期权报价未能反映其对应欧式头寸隐含的价格，从而可能被更敏感于波动率微笑的对手方捕捉到相对价值。

2.2 区间累计（Range Accrual）

区间累计是一类常见的奇异期权结构，属于离散观察的弱路径相关产品（Chen 注：严格说区间累计并非真正的路径依赖：由式 (2.2)、(2.3)，其价格 = 各观察日区间概率之和，由期望的线性性，只依赖各观察日的边际分布，与价格的联合路径无关。这也是它能被拆成一篮子欧式数字期权（式 2.3）的根本原因。相比之下，Double No Touch 这类才是真路径依赖，要求整条路径始终不触界。）。其收益取决于标的价格落入预设区间的观察次数，可表示为：

\begin{equation} \text{payoff} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{L\, \le\, S_{t_i}\, \le\, U\}} \tag{2.2} \end{equation}

其中，第 $i$ 个观察日 $t_i$ 对应的，是该期限上标的落在上下边界 $[L, U]$ 内的区间概率：

\begin{equation} \mathbb{P}(L \le S_{t_i} \le U) = \mathbb{P}(S_{t_i} > L) - \mathbb{P}(S_{t_i} > U) \tag{2.3} \end{equation}

这正好是上下两个边界对应数字概率之差（Chen 注：式 (2.3) 把一个区间概率拆成了两个「标的高于某价位」的概率之差，而后者恰恰就是数字期权的价格（式 2.1）。这就把区间累计和 2.1 节的数字期权定价口径连到了一起：区间累计 = 一篮子跨期限、双边界的数字期权。）。

因此，区间累计不是一个单期限、单行权价的问题，而是一组跨期限、双边界的区间概率问题。这一点会表现为单一 BS 波动率与 LV 给出的各观察日区间概率的系统性差异（Chen 注：要说清差异的来源：区间累计只依赖各期限的边际分布，而 LV 校准到整张欧式曲面后能精确复现所有欧式边际分布，因此任何校准到同一张曲面的模型（哪怕带 smile 的插值）都应给出相同的区间概率。图 3 里 BS 与 LV 的差异，本质是「单一平坦波动率 vs 完整曲面 smile」，与图 2 数字期权是同一个故事，而非路径或随机波动率的动态效应。这也正面印证了第 3 节「LV 对以到期分布为主的产品已足够」的结论。）：

图 3 固定上下边界，比较单一 BS 波动率与 LV 模型给出的各观察日区间概率。可以看到，不同期限上的概率在两种模型下存在系统性差异，而区间累计的价格正是这些概率的加权结果。

若用单一 BS 波动率覆盖整个结构，本质上是在用同一个波动率同时处理所有观察日与上下边界；而 LV 模型则把不同期限的区间概率统一放进由整张欧式曲面驱动的框架中。

从静态复制角度看，每个观察日的区间事件都可以拆成上下边界两个数字期权，再分别用窄牛市价差近似实现。但随着观察日增多，计算迅速复杂化；相比之下，LV 模型在统一曲面输入下可以直接给出一致的估值口径。

3. LV 模型的边界

LV 是个好起点，但不是终点。它的局限主要体现在三个方面。

未来波动率微笑的动态

LV 模型贴合的是当前欧式曲面，但对未来微笑如何变化并没有约束。它保证的是当前定价一致，而不是未来动态的合理性。这是 LV 与随机波动率模型最本质的分野（Chen 注：这是 LV 最核心的短板：Dupire 反推出的局部波动率一旦确定，模型对「明天的微笑长什么样」给出的预测往往与市场实际演化不符（典型表现是远期 smile 过快变平）。对强路径依赖、看远期微笑吃饭的产品，这个缺陷会直接反映在对冲损益上，也正是引出 SV/SLV 的动机。）。

对输入曲面的依赖

Dupire 公式涉及对期限与行权价的导数，尤其是分母的二阶导，因此任何曲面噪音或不平滑都会被放大。曲面质量直接决定 LV 的稳定性。这也呼应了第 1 节反复强调的「干净曲面」。

产品适用范围

LV 对数字、区间类等以到期分布为主的产品通常已经足够；但在强路径依赖或障碍类产品（如 Double No Touch（Chen 注：Double No Touch，双不触碰期权。只要标的在存续期内始终不触及上下两个障碍，就支付固定收益，一旦触碰任一障碍即作废。它高度依赖整条价格路径与未来微笑动态，是区分 LV 与 SLV 的经典试金石。））上，不同模型在相同曲面下仍可能给出显著差异。

尽管存在这些限制，LV 在实务中仍然是一个关键的中间层模型，主要体现在：

曲面一致定价：把欧式报价自然延伸到结构产品；
主力定价工具：用于数字、区间累计、欧式障碍等产品；
模型对照基准：用于比较 BS、LV、SV、SLV 等模型结果；
计算效率高：相较随机波动率模型，定价更稳定高效，适合批量计算。

4. 下一步：让波动率「动起来」

LV 模型解决的是如何让定价与当前欧式波动率曲面保持一致，但前提是：波动率由 $(S_t,t)$ 唯一决定。它把 $\sigma$ 从常数升级成了 $\sigma_{\text{loc}}(S_t, t)$ ，但请注意，这个函数一旦由今天的曲面反推出来，就是的：给定价格与时间，波动率的取值没有任何随机性。

更进一步的问题是：波动率本身是否也是随机的？

\begin{equation} \sigma_{\text{loc}}(S_t, t) \;\longrightarrow\; \text{随机过程}\ \sigma_t \tag{4.1} \end{equation}

这正是随机波动率模型（SV）与随机-局部波动率模型（SLV）（Chen 注：Stochastic Volatility（SV，如 Heston 模型）让方差自身服从一个带均值回复的随机过程，并与价格过程相关；Stochastic-Local Volatility（SLV）则在 SV 之上叠一层 LV 校准因子，既贴合当前曲面、又保留随机波动率的动态。SLV 是当前场外奇异期权定价的主流工业标准。）试图回答的问题。

从这里开始，问题不再是曲面拟合，而是波动率动态本身。

回到本系列的主线：第 1 篇证伪 BS 常数波动率、第 2 篇在 BS 内部做修正、第 3 篇把曲面本身讲清，本篇则用 LV 把曲面升级成一个自洽的模型。但 LV 只走到了「确定性的局部波动率」这一步，它锚住了今天，却锁不住明天。要让波动率真正「动起来」，就得进入 SV/SLV 的世界，这将是本系列后续专题的主题。

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