期权估值（一）：Black-Scholes 模型的红与黑

在金融产品的交易报价和交易后管理上，定价估值都是要解决的核心问题。定价估值的挑战在于曲线/曲面的构建及估值模型的选择，特别是对于期权类产品的处理过程更为复杂，由此，我们特别推出期权估值系列推文（Chen 注：作为系列推文的第一篇：「红」指 BS 的成就，重要经典，且应用极广。「黑」指 BS 的缺陷，尤其是「波动率不是常数」这一点。），期望与市场同业深入交流、共同分享定价估值领域的经验与见解。

1. BS 模型（Chen 注：Black-Scholes 模型是现代期权定价的基础工具，它非常成功，但建立在很多理想假设上；现实市场并不完全满足这些假设。因此，在实务中既要用它，也要知道它的边界。）的核心假设：正态分布

预测金融资产的价格走势和规律是经济金融领域的核心课题之一。以股票价格为例，（Chen 注：而以期权价格为例，其价格没那么直观，且受很多因素影响（到期日/行权价/市场利率/提前行权/条款等），所以期权定价的核心问题是：这个未来可能赚钱的「权利」，今天到底值多少钱？BS 模型就是第一个系统回答这个问题的经典模型。）早在 1900 年，法国人 Bachelier 首次提出用布朗运动（Brownian Motion）来描述股价的变化。在 Bachelier 的模型里，虽然一天的股价变化是随机不可预测的，但当我们将目光转向更长的时间段或更大的样本时，这些随机变化往往会显现出某种统计规律性。把每天的股价变化画成频数直方图，得到下图：

也即股价变化的标准差（或波动率）是一个确定的量，用数学表示：

\begin{equation} \begin{cases} S_t = S_0 + \sigma W_t \\ S_t = S_{t-1} + \sigma W_1 \end{cases} \tag{1.1} \end{equation}

其中， $\sigma$ 表示标准差或波动率， $W_t$ 表示维纳过程或者服从正态分布 $N(0,t)$ 的随机数。公式（1.1）表示每天股价的变化服从标准差为 $\sigma$ 的正态分布。但是公式（1.1）有一个很大的缺陷，就是模拟的股价可能小于 0，不符合股权有限责任的原则，所以调整公式（1.1），得到：

\begin{equation} \begin{cases} S_t = S_0 e^{\sigma W_t} \\ S_t = S_{t-1} e^{\sigma W_1} \end{cases} \tag{1.2} \end{equation}

公式（1.2）表示股价的对数（Chen 注：简单收益率$\frac{S_T - S_0}{S_0}$未必严格正态。）收益率服从标准差为 $\sigma$ 的正态分布，而股价本身服从对数正态分布（log-normal），或者说：股价服从几何布朗运动（Chen 注：即$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$。可以理解为价格的变化由两部分组成：一部分是长期平均增长趋势（$\mu Sdt$），另一部分是随机波动（$\sigma SdW$）。）（GBM, Geometric Brown Motion）。

2. BS 模型的成就

BS 模型自 1973 年发表以来，迅速成为金融学领域的革命性成果，并在理论和实务中取得了极大的成功。BS 模型与资本资产定价理论（CAPM）一起颠覆了传统的基于经验的定价方法，为金融衍生品定价理论提供了严谨的数学基础。~~CAMP~~CAPMCAMP 模型、BS 模型的主要奠基者分别于 1990 年和 1994 年被授予诺贝尔经济学奖。

BS 模型论文发表的同年（Chen 注：重要的历史巧合，BS 提供定价工具，CBOE 提供标准化期权交易市场。），芝加哥期权交易所（CBOE）成立，并首次推出标准化期权合约——挂钩 16 只热门股票标的（IBM、通用电气等）的股票认购期权，使期权交易从场外（OTC）转向集中化、规范化的市场。CBOE 提供了交易场所，而 BS 模型提供了定价理论，两者相辅相成，共同推动了现代期权市场的繁荣。

3. 解 BS 方程：即期权定价估值

解 BS 方程，即求解期权价格的方法可谓是五花八门、八仙过海。主要的算法罗列如下：

算法1：闭式解（closed-form formula）或解析公式解。

对欧式期权，根据动态对冲理论（Chen 注：如果可以用股票和现金复制一个期权，那么期权价格就应该等于这个复制组合的成本，否则就会出现套利机会。通过动态对冲，可以消除股票价格随机波动带来的风险。因此，在无套利框架下，期权价格不取决于预期收益，而取决于无风险利率和波动率。）或鞅理论（Chen 注：欧式期权价格可以理解为：期权价格=未来收益在风险中性世界下的期望值折现，即$V_0 = e^{-rT} E^Q[\text{Payoff}]$），都可以得到如下求期权价格的闭式解，也称 BS 公式：

\begin{equation} V(S, t) = S N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) \tag{1.3} \end{equation}

其中，

\begin{equation} d_{1,2} = \frac{\ln(S/K) + (r \pm \sigma^2/2)/(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \tag{1.4} \end{equation}

除欧式期权外，数值期权、障碍期权等，也可以求出期权的闭式解。但是对部分期权，如美式期权、算术平均亚式期权等，不存在闭式解。

算法2：半公式解，如通过快速傅里叶转换（FFT）的级数加和、数值积分等方法计算，如 Double Knock-Out/In 等期权的公式解属于此类。
算法3：二叉树/三叉树。（注：二/三叉树是显式有限差分法的简化形式，所以在实操中基本不采用该数值方法）
算法4：有限差分法（FDM, Finite Difference Method），也称 PDE 法，包括显式、隐式和中心差分等。以及有限元方法（Finite Element Method）、有限体积法（~~Finte~~FiniteFinte Volume Method）等。
算法5：Monte Carlo 模拟法（Chen 注：特别适合路径依赖型期权，即：期权收益不仅取决于到期价格，还取决于中间过程，如亚式期权、障碍期权、自动赎回期权。），由数学鞅理论发展而来。
算法6：近似公式解（approximate solution）。

如对美式期权等不存在闭式解的情况，有 BAW、JuZhong、Andersen 等各种近似公式解算法。

上述算法2~5又被称为数值方法，在很多书籍、科普文章中被称为模型。

有两点值得关注：

数值方法2~5只是求解 BS 方程的数学或计算机方法，并没有提出新的模型假设。另外，数值方法2~5也可以用来求解其他方程。
数值方法2~5的解是无偏的（~~umbiased~~unbiasedumbiased），只要提高计算精度，数值方法的计算结果收敛于闭式解（如有）或真实解。但是算法（6）近似公式解是有偏的（Chen 注：近似公式的特点是：算得快、形式简洁、但不一定完全准确。适合需要快速估值或大量批量计算的场景。）。

4. 多种数值方法的意义

上面讲的多种数值方法是否让大家想起了孔乙己「茴香豆」的多种写法？

答案是：对，也不对。理由如下：

对有闭式解（解析公式）的期权，如欧式期权估值，答案是：**对的，其他数值方法都是多余的。**闭式解的计算结果就是数值方法努力逼近的「The True Value」，且闭式解的计算效率远超所有数值方法。所以我们对存在闭式解的期权类型，向客户优先推荐闭式解。
即使在 BS 模型假设下（对数正态分布假设），并不是所有的期权类型都存在闭式解，如美式期权、算术平均亚式期权等。这时，我们需要根据期权结构和模型，选择合适的数值方法。如美式期权、亚式期权、障碍期权等，我们除了提供 BAW、Andersen、Wilkinson 等近似解外，还提供 PDE（有限差分）解和 Monte Carlo 模拟解。

注：提供一种数值方法和多种近似公式解的原因是，在某些场景下，对性能的要求很高，而对计算结果的精度要求相对不高。这时可以选择近似公式解。另外近似公式解能方便输出某些指标，如美式期权的提前行权边界价格。

在其他模型或分布假设下，如局部波动率模型（Local Volatility），即使最简单的欧式期权也不未必不存在闭式解。对于其他模型假设，我们提供有限差分法（Finite Difference）或 Monte Carlo 模拟方法等数值方法计算期权的价格。

5. 真实的波动率不是常数

如第 1 节所述，BS 模型脱胎于收益率的统计规律：服从正态分布。因此 BS 模型假设波动率是一个固定的常数。这个模型假设帮助 BS 模型取得了非凡的成功，但同时也是 BS 模型诸多假设中最致命的缺陷（Chen 注：其他的缺陷包括：现实收益率不是完美正态分布的；市场会跳跃；交易不是连续无成本的等等。）。

波动率微笑（Chen 注：不同行权价对应的隐含波动率不一样。深度虚值看跌期权隐含波动率很高；平值期权隐含波动率较低；深度虚值看涨期权隐含波动率也较高。）曲线/曲面（Chen 注：$IV=f(K,T)$。实务中交易员通常报价隐含波动率。换言之，「市场交易的不是期权价格，而是波动率。」）的存在，~~证明波动率不是一个固定常数。~~说明在市场定价中，用常数波动率假设无法同时解释所有行权价和期限的期权价格。证明波动率不是一个固定常数。（Chen 注：「波动率不是一个固定常数」在实务语境里是对的，但不是数学上的严格证明，而是用 BS 模型反推得出不同行权价/期限对应的隐含波动率不同。这说明，用常数波动率的 BS 模型解释市场时不够好，但它并不能直接推出「真实世界里波动率这个随机过程绝对不可能是常数」，只能说：在市场定价层面，常数波动率假设显然不够。）

如上节所述，既然真实的波动率不是一个常数，在已知波动率曲面的情况下，如果采用 BS 模型定价，自然而然地带来一个问题：应该怎样选择波动率？

「波动率插值」，答案似乎很显然，但实际情况没有这么简单。

6. 滥用波动率插值是期权定价中普遍的局限性

原则上讲，波动率插值~~只适用于~~天然是围绕只适用于简单欧式期权定价构建的，逻辑证明如下：

首先，波动率和欧式期权价格是一体两面（Chen 注：期权价格↔隐含波动率。）的关系。已知波动率，代入 BS 公式，可以唯一确定欧式期权的价格；反过来，已知欧式期权的价格，可以反算出波动率。

注：类比，到期收益率（YTM）和债券价格的关系。

其次，我们所谓的波动率曲面，除特别情况之外，都是基于欧式期权的隐含波动率构建的。

如中金所的 IO 期权、外汇交易中心的 USDCNY 波动率曲面等。只有商品期货交易所，如大商所的商品期货期权是基于美式期权的价格。

换句话说，市场报出的其实是简单欧式期权的市场价格。

第三，当欧式期权存有对应的市场波动率，BS 模型价格总是等于市场价格。当不存在市场波动率时，如果采用插值波动率，与其说是在做期权定价，不如说是在对市场价格做插值。

这一判断与波动率插值方法（Chen 注：三次样条是纯数学插值，金融含义较弱；SABR 能较好拟合利率、外汇、商品市场上的波动率微笑；Vanna-Volga 是通过几个市场报价点对 BS 价格进行调整，是外汇期权市场常用的微笑调整方法。）无关。无论是三次样条等基于经验模型的插值方法，还是基于 SABR、VV 等结构化模型的插值方法，本质都是在对欧式期权的市场价格~~做插值~~构建一条可用于定价的隐含波动率曲面，从而间接反映期权价格做插值（Chen 注：三次样条更像是对隐含波动率曲线做平滑；SABR、VV 更像是对波动率微笑/曲面做参数化拟合。它们最终服务于价格，但中间对象不完全一样。）。

第四，在对欧式期权，或者接近欧式期权的期权结构定价时，用插值波动率定价是准确的。但是，当待定价期权的结构与欧式期权差异很大时，不能再简单用插值波动率（Chen 注：复杂期权的价值不只取决于某一个行权价和某一个到期日。如下文所述，No-touch 期权的收益取决于在期权生命周期内，标的价格是否没有触碰某个障碍价格。）。

如同，在到期收益率（YTM）曲线上插值，对普通债券定价都是准确的；但是这条曲线上的插值 YTM 不能直接用来给含权债定价。

第五，具体到波动率插值对象，波动率插值本质上都是通过行权价（Strike）和期限作为插值对象。但是，不是所有的期权结构都存在唯一的行权价格。比如 No-touch 期权，不存在行权价格；比如自动赎回期权（Autocall），存在多个行权价格。

上述反例也间接证明：欧式波动率曲面插值 + BS 模型假设不能适用于所有的期权结构。

7. BS 模型的适用领域

如上一节所述，BS 模型既然是有局限性的，为什么金融实操中普遍采用 BS 模型？为什么波动率报价基于 BS 模型？

第一，BS 模型价格不准确，是相对于其他期权模型（如局部波动率、随机波动率模型）而言。

第二，假设波动率曲面是平坦的，BS 模型假设是无缺陷的，且 BS 模型的估值是准确的。当波动率曲面是平坦的（Chen 注：准确地说是：在模型参数退化到常数波动率的情形下。），其他期权模型，如局部波动率、随机波动率模型的价格~~恒等于~~退化为恒等于 BS 模型。

第三，BS 模型得到的隐含波动率是理想的「报价工具」。

期权的价格包括了到期日、标的价格、行权价格、波动率等很多信息。交易员无法直观地感受到期权市场价格是「贵」还是「便宜」。而通过隐含波动率——衡量标的资产价格的波动程度，这个指标来反映市场价格的变化。且波动率相对标的资产价格，比较稳定。

所以，BS 模型也被称为「报价模型」，对标准欧式期权，在 BS 框架下，（Chen 注：且前提是 BS 公式下价格对波动率是单调的；对某些异常结构或极端市场条件，未必始终这么简单。）隐含波动率与期权市场价格存在一一对应的关系。

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