期权估值（二）：拯救 Black-Scholes

TL;DR

上一篇讲清了 BS 模型的「红与黑」。它极其成功，却建立在「波动率是常数」这一并不成立的假设上。BS 模型最显著的局限性（Chen 注：第 1 篇的两条结论：一是波动率微笑/曲面的存在，说明市场定价中常数波动率假设无法同时解释所有行权价和期限；二是波动率插值天然是围绕简单欧式期权构建的，用在结构差异大的期权上并不准确。）在于它对波动率的固定假设，这种假设在面对「波动率微笑」等复杂场景时，会带来定价偏差。此外，模型中插值隐含波动率的算法原则上只适用于简单欧式期权，对于非欧式期权以及其他复杂结构的期权产品，该算法的适用性大打折扣。

为了克服 BS 模型的这些局限性，结合期权复制的无套利原理，本篇引入两种修正 BS 模型的方法，即欧式期权静态复制法和 Vanna-Volga 法。它们能解决更多类型的期权估值问题，并显著提高估值精度。

本期为大家带来：拯救 Black-Scholes。

1. 欧式期权静态复制法

欧式期权静态复制法，指的是通过构建欧式期权组合来复制、模拟目标期权到期收益（Payoff）的策略。其核心在于一次性构建组合，无需（Chen 注：这也是「静态」二字的由来。「静态」正是相对于 BS 动态对冲（Delta 对冲需要连续调仓）而言。静态复制一旦建仓，持仓不变，因此不承担再平衡的交易成本和跳跃风险。）在期权存续期内调整持仓。

1.1 场景一：牛市价差复制数字期权

欧式期权静态复制法最常见的运用场景，是通过牛市价差组合（Bull Call Spread）（Chen 注：买入一个低行权价的看涨期权、同时卖出一个更高行权价的看涨期权（同到期日）。之所以是「看涨」，是因为收益随标的上涨而增值；构建时因低行权价期权更贵，需净支付权利金。收益有上限（两行权价之差减成本），最大亏损即净权利金，是一种降低成本、放弃部分上行空间的方向性策略。）来复制欧式数字期权（Digital）（Chen 注：又称二元期权。到期时若标的价格满足条件（如高于行权价），支付固定金额（如 1 元或固定名义本金），否则支付 0。收益是一个跳变的阶跃函数，而非普通期权的连续斜坡，因此难以用单一波动率准确定价。）。如下图所示：

图1：牛市价差组合（Bull Call Spread）复制数字期权的收益结构
注：图片来源系统

用数学公式表达，即：

\begin{equation} \text{Digital}(K) \approx \frac{C\big(K,\ \sigma(K)\big) - C\big(K+\Delta K,\ \sigma(K+\Delta K)\big)}{\Delta K} \tag{1.1} \end{equation}

当 $\Delta K$ 越接近于 0，牛市价差组合与数字期权的复制程度越高，估值结果越准确。（Chen 注：这是极限逼近的思想。直觉上理解是数字期权的 payoff 是一个跳变的阶跃函数，而牛市价差是一段斜坡。斜坡越陡（$\Delta K$ 越小），越逼近阶跃。极限意义上，数字期权价格是看涨期权价格对行权价的全导数：$-\frac{dC}{dK}=-\frac{\partial C}{\partial K}-\frac{\partial C}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \sigma}{\partial K}$。后一项正是波动率沿行权价的斜率（skew）带来的修正，这也是数字期权对 skew 敏感、必须用两个不同插值波动率的原因。）。

但需注意， $\Delta K$ 越接近于 0，欧式期权组合的名义本金越大，实操中一般设置不低于 100 pips（Chen 注：因为要用 $1/\Delta K$ 手的价差才能复制 1 单位数字期权收益，$\Delta K$ 越小，手数越多，名义本金越大，交易和保证金成本也越高。）（pip 是外汇报价的最小变动单位，多数货币对为 0.0001，100 pips 即 0.01）。

式（1.1）最值得注意的一点是：牛市价差组合由两个不同行权价的欧式期权构成。在计算复制组合成本时，行权价 $K$ 的欧式看涨期权和行权价 $K+\Delta K$ 的欧式看涨期权，对应两个不同的插值波动率 $\sigma(K)$ 与 $\sigma(K+\Delta K)$ 。而如果直接用 BS 模型计算数字期权的价格，只会用到一个插值波动率。

1.2 场景二：美式期权定价

欧式期权静态复制法的另一个经典场景，是美式期权的定价。思路分为三步：首先将美式期权视作离散的百慕大期权；其次将每个可能的行权日（Chen 注：严格说，这是一个下界近似：把连续的行权权利离散成有限个行权日，且忽略了行权日之间的相互依赖，因此低估了真实的美式期权价值。行权日取得越密，逼近越好。工业界更精确的做法仍是 PDE 或 BAW/Andersen 等近似解。见[第 1 篇](/notes/option-valuation-01#4-%E5%A4%9A%E7%A7%8D%E6%95%B0%E5%80%BC%E6%96%B9%E6%B3%95%E7%9A%84%E6%84%8F%E4%B9%89)中的算法 4、6。）作为到期日，按简单欧式期权定价；最后取这些欧式期权价值的最大值（Chen 注：需强调这个「取最大值」严格成立仅限特例：标的无收益（或仅离散红利）的美式看涨，即经典的 Black 近似。原因是无收益美式看涨永不提前行权，其价值本就等于最长期限的欧式看涨，而看涨价值对期限单调，取 max 恰好选到它。对美式看跌（提前行权由利率驱动、随时可行使），「取欧式最大值」既非等式也非好近似，只是一个很松的下界；真正的美式/百慕大定价须用逆向归纳（每个节点比较立即行权的内在价值与继续持有的连续价值），或 PDE、BAW/Andersen 等近似。切勿把本式套用到美式看跌。），作为美式期权的估值。公式如下：

\begin{equation} V_{\text{American}} \approx \max_{1 \le i \le n}\ C\big(K,\ T_i,\ \sigma(K, T_i)\big) \tag{1.2} \end{equation}

其中，欧式期权 $i$ 的到期日 $T_i$ 等于美式期权第 $i$ 个提前执行日。

同理，式（1.2）中的欧式期权，其插值波动率对应多个不同到期日的期限和行权价插值得到的波动率，区别于 BS 模型下的美式期权定价只使用一个插值波动率。

1.3 静态复制法的三个特点

根据上述例子，不难归纳、推理出欧式期权静态复制法的特点：

估值是准确的。 欧式期权静态复制法基于简单欧式期权的组合。既然单个欧式期权的估值是准确的，那么由它们组合而成的估值也是准确的。
已纳入非平坦的波动率曲面。（隐含）波动率曲面并不平坦这一性质，已被静态复制法考虑，并反映在估值结果中。这一点是静态复制法区别于 BS 模型的最重要特点，正体现了对传统 BS 模型的「拯救」（Chen 注：因为复制组合里每个欧式期权都各自沿曲面取自己的插值波动率，见式（1.1）的两个 $\sigma$ 和式（1.2）的多个 $\sigma$。）。
欧式期权静态复制法的估值结果是 Model-free（无模型依赖）的。 在实操中，期权模型的参数通过校准市场报价得到，即 Marked to Market。换句话说，所有期权模型计算简单欧式期权的模型价格都相同，欧式期权的估值是 Model-free 的。由此推得，欧式期权静态复制法的估值结果也是 Model-free 的。

我们对数字期权、欧式障碍期权等，分别用欧式期权静态复制法、局部波动率模型、随机波动率模型估值，得到几乎相同的结果，正印证了第 3 点。

欧式期权静态复制法可用于数字期权、欧式障碍期权、美式期权等标准期权，以及鲨鱼鳍、三层区间、区间累计等场外结构化期权产品的估值定价。

2. Vanna-Volga 算法

Vanna-Volga（VV）算法是一种基于市场经验规则的期权定价调整方法，通过对冲二阶希腊值（Vanna 和 Volga）的成本，来修正 BS 模型的价格偏差。

Volga 指期权价格对波动率的二阶导数 $\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}$ ；Vanna 指期权价格对波动率和即期价格的交叉二阶导数 $\frac{\partial^{2} V}{}$ 。

如上一篇所述，（隐含）波动率曲面是非平坦的。非平坦的波动率曲面带来额外的 Vega（Chen 注：期权价格对波动率的一阶导数 $\partial V/\partial \sigma$，衡量期权价值对波动率变动的敏感度。Volga、Vanna 则是与波动率相关的二阶导数（分别见下）。）风险，以及与波动率相关的二阶风险：Volga 和 Vanna 风险。

另外，在期权市场，特别是外汇期权市场，流动性最好的三个期权依次是：ATM（Chen 注：At-The-Money，平值期权。行权价等于（或最接近）标的当前价格的期权。外汇市场常以 Delta 中性来定义 ATM（即 Delta≈0.5 的执行价），它是波动率曲面的中枢，流动性最好、报价最活跃。）、25Delta Call（Chen 注：Delta≈0.25 的虚值（OTM）看涨期权。Delta 衡量期权价格对标的价格的敏感度，BS 下看涨 Delta $=N(d_1)$，常被近似当作到期实值的概率；但严格的风险中性行权概率是 $N(d_2)$，二者差一个漂移/方差项，只在近似意义上相近。0.25 意味着行权价明显高于现价，是一个虚值程度适中、市场活跃的报价点，用来刻画微笑曲线右翼。）、25Delta Put（Chen 注：Delta≈-0.25 的虚值（OTM）看跌期权，行权价明显低于现价。与 25Delta Call 对称，用来刻画微笑曲线左翼。外汇期权常用 25D Call/Put 与 ATM 三点，配合风险逆转（RR）和蝶式（BF）报价来描述整条微笑。），其对应的（隐含）波动率分别为 ATM Vol、25Delta Call/Put Vol。

Vanna-Volga 方法的核心思路如下：

基于 BS 模型计算目标期权的理论价格，其中波动率选取 ATM Vol；
选择市场上流动性最佳的三个欧式期权，构建一个投资组合，复制目标期权的敏感度指标（Vega、Vanna、Volga），并计算这些欧式期权在组合中的权重；
考虑到实际波动率曲面并非理想的平坦结构，额外量化由此导致的欧式期权组合成本偏差，并将其纳入最终定价。

数学表达式如下：

\begin{equation} V_{\text{VV}} = V_{\text{BS}}(\sigma_{\text{ATM}}) + \underbrace{\sum_{i=1}^{3} w_i \Big[ C\big(K_i,\ \sigma(K_i)\big) - C\big(K_i,\ \sigma_{\text{ATM}}\big) \Big]}_{VV 算法调整项} \tag{2.1} \end{equation}

其中， $\sigma_{\text{ATM}}$ 表示 ATM Vol； $V_{\text{BS}}(\sigma_{\text{ATM}})$ 表示目标期权在 ATM Vol 下的 BS 模型估值；右侧求和项即 VV 模型的调整项，表示欧式期权组合的成本偏差。

特别注意，式（2.1）中至少对应三个波动率：25Delta Call/Put 和 ATM Vol，区别于 BS 模型只取一个插值波动率。

同理，可归纳出 Vanna-Volga 算法的特点：

VV 算法的调整项基于 BS 模型假设，没有提出新的模型假设；
VV 算法的调整项，基于流动性最好的三个简单欧式期权；
（隐含）波动率曲面非平坦这一性质，已被 VV 算法的调整项考虑，并反映在 VV 估值结果中——同样体现了对传统 BS 模型的「拯救」。

但需特别注意，VV 算法的适用范围是有限制的。经典的反例如下图：

图2：VV 算法反推的波动率微笑（蓝）与 Malz 插值曲线（红）对比。VV 曲线在左侧非单调上升，隐含套利机会
注：图片来源系统

Vanna-Volga 曲线：根据 VV 算法计算 OTM（Chen 注：Out-of-The-Money，虚值期权。行权后无内在价值的期权：看涨期权行权价高于现价、看跌期权行权价低于现价时，均为虚值。价格全部由时间价值构成。）/ITM（Chen 注：In-The-Money，实值期权。行权后有正内在价值的期权：看涨期权行权价低于现价、看跌期权行权价高于现价时，均为实值。与 OTM 相对，ATM（平值）则介于两者之间。）期权的价格，代入 BS 模型反算隐含波动率，构成曲线。 Malz 曲线：根据 Delta-Vol 曲线，插值 OTM/ITM 的波动率，构成曲线。

如上图所示，根据 VV 算法计算得到的波动率微笑曲线（蓝色点线）在左侧非单调上升。这是一个非常严重的错误（Chen 注：需澄清：波动率微笑本身天然是非单调的（U 形/偏斜），一条无套利的微笑照样非单调，所以「非单调」不等于套利。无套利约束真正作用在看涨期权价格上：$C$ 对行权价 $K$ 单调递减（call-spread 无套利，$\partial C/\partial K\le 0$）且凸（蝶式无套利，$\partial^2 C/\partial K^2\ge 0$）。这里的问题不是微笑非单调，而是 VV 外推使 call 价格随 $K$ 下降反而下降，违反了 $\partial C/\partial K\le 0$，那才是套利。）：即当欧式看涨期权的行权价下降时，期权的模型价格反而可能下降（因为波动率下降）。换句话说，波动率曲面存在套利机会。

导致 VV 算法隐含的波动率微笑存在套利机会的本质原因是：VV 算法基于 BS 模型，通过复制 Vega、Vanna、Volga 外推到 ITM/OTM 期权。外推的「幅度」越大，误差越大，表现为深度价外（内）期权的估值不准确。

在实践中，如果将 VV 算法外推到障碍期权估值，估值调整需要特别考虑敲出/敲入概率。

适用 VV 算法的结构主要包括：欧式期权、数字期权、单边障碍期权（如敲入敲出）、触碰类期权（如 No-touch）等。

3. 小结：BS 框架内的「拯救」，与它的边界

针对波动率曲面不平坦的事实，可以通过欧式期权静态复制法和 Vanna-Volga 修正算法，在 BS 模型内部完成「拯救」。但要清醒地看到：上述两种算法都只能针对特定的期权结构，并非通用算法。

方法	核心机制	适用结构	关键边界
欧式期权静态复制	一次性构建欧式期权组合复制 payoff	数字、欧式障碍、美式，及鲨鱼鳍、区间累计等场外结构	需存在可分解为欧式组合的复制关系
Vanna-Volga	对冲 Vanna/Volga 成本修正 BS 价格	欧式、数字、单边障碍、触碰类	外推幅度过大时微笑非单调，隐含套利

更进一步，局部波动率（Local Volatility）、随机波动率（Stochastic Volatility）模型等放弃了固定波动率假设，从根本上解决了 BS 模型假设的缺陷，能对深度虚值欧式期权（Deep OTM）（Chen 注：需说明：单只深度虚值欧式期权若有市场报价，其估值仍是 model-free 的，并不需要 LV/SV 模型。真正需要模型的是「无市场报价的深度虚值区」，那里没有可插值的报价点，只能靠模型外推。这也正是 VV 外推在深度价内/外失效（见上文微笑非单调导致套利）的根源。）、美式期权、亚式期权、双边障碍期权，以及其他复杂路径依赖期权进行估值。这部分内容，将在后续的局部波动率模型专题中展开。

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